騒がしい春の協奏曲（四月）
第一章 小問集合（order a la carte）
第七話 完璧な聖女の家へ
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僕には関係ないか。
講義２
妃宮「今回は関西圏のとある大学の二次試験の問題を何回か解説するようにとの事なので、早速ですが始めたいと思います。」
早速ですが、始めたいと思います。
問題は次のようなものです
第一問
整数、a,b,c,d,pについて次のような条件が成り立っている。
a≦b≦c≦d ―①pは3以上の素数―②
a+b+c+d=0 ―③
ad-bc+p=0 ―④
この時、a,b,c,dをpを用いて表せ。
まず①、③より0=a+b+c+d≦4aですから、a≧0が成り立ちます。
また同様にd≦0が成立することが分かりますね。
文字が沢山出てきた場合は、文字を消去することで考えやすくなります。
今回はdを消去してみましょう。
③からd=－(a+b+c) ー⑤となります、これを④に代入しましょう。
-a(a+b+c)-bc+p=0
(a+b)(a+c)=p
pは素数であるのと①の性質から(a+b),(a+c)の組み合わせは次の二通りになります。
(a+b,a+c)=(p,1)、(-1,-p)
(a+b,a+c)=(-1,-p)だとすると
b=-1-a c=-p-a
⑤に代入すると、d=-(a+b+c)=-(-p-a-1)≧0となる。
これは先ほどのdの条件に矛盾するので不適だと判断できるので、(a+b,a+c)=(p,1)となります。
それぞれをaで表すと次のようになります。
b=p-a c=1-a d=a-p-1
①に代入しますと次の式が出てきます。
ｐ/2≦a≦p/2+1
aは整数なので
a= (ｐ+1)/2
だと解ります。
これを先ほどの条件式に代入しますと次の関係式を得られます。
(a,b,c,d)=((ｐ+1)/2,(ｐ-1)/2 ,(1-p)/2,-(ｐ+1)/2)
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